Identitas Trigonometri

Identitas atau kesamaan adalah suatu persamaan yang berlaku untuk semua nilai pengganti peubahnya (variabelnya). untuk menunjukkan/membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dapat dilakukan dengan mengubah salah satu atau kedua ruas persamaan hingga menjadi bentuk yang sama.

Untuk materi lebih lengkapnya anda bisa langsung download file berekstensi .ppt dibawah ini.

Identitas Trigonometri.ppt

Sebagai Contoh :

1) Buktikan Identitas-identitas dibawah ini!

     1/3 sin ² x + 1/3 cos ²x = 1/3

Jawaban : 

1/3 sin ² x + 1/3 cos ²x = 1/3

1/3 (sin ² x + cos ²x)   = 1/3

1/3 (1)     =  1/3

1/3           =  1/3           (TERBUKTI)

Himpunan

            Himpunan merupakan suatu konsep dasar di matematika. Konsep himpunan merupakan ide dari kumpulan objek dan memandang objek tersebut sebagai entitas tunggal. Teori himpunan, baru diciptakan pada akhir abad ke-19 dan George Cantor, Matematikawan Rusia, dianggap sebagai bapak teori himpunan. Permulaan artikel ini saya akan membahas tentang pengertian himpunan dan cara menyatakan himpunan

Pengertian Himpunan

Himpunan merupakan kumpulan objek-objek yang mempunyai sifat tertentu, misalnya kumpulan bilangan asli kurang dari 10, kumpulan bilangan ternak berkaki 4, kumpulan mahasiswa pencinta alam dan sebagainya.

            Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, benda dan lain sebagainya. Didefinisikan dengan jelas mempunyai pembeda yang menentukan keanggotaan suatu himpunan. Objek-Objek di atas disebut anggota atau unsur atau elemen himpunan.

Contoh :

Manakah diantara kumpulan berikut yang merupakan definisi himpunan :

        1.      Kumpulan mahasiswa UIN Raden Fatah Palembang jakarta 2015

        2.      Kumpulan bilangan asli kurang dari 10

        3.      Kumpulan mahasiswa pandai

Penyelesaian :

        1.      Himpunan, karena berdefinisi dengan jelas keanggotaannya yaitu mahasiswa UIN angkatan 2015.    Mahasiswa UIN angkatan tahun selain tahun 2015 bukan merupakan anggota himpunan.

        2.      Himpunan, karena ciri keanggotaannya jelas

        3.      Bukan himpunan, karena definisi pandai tidak jelas

Cara Menyatakan Himpunan

Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 4 cara 

1.      Menyatakan Sifat yang dimiliki Anggotanya

Contoh :
Himpunan huruf vokal
Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10

       2.      Bentuk Pendaftaran (Tabular-Form) 
       Yaitu menuliskan semua anggota himpunan tersebut di dalam kurung kurawal.
       Contoh :

 A = {a,i,u,e,o}

 B = {1,3,5,7,9}

       3.      Notasi Pembentuk Himpunan (Set Builder – Form)

       Yaitu dengan menuliskan sifat/syarat mengenai anggota himpunan tersebut. Pada cara ini anggota himpunan dinyatakan dengan suatu variabel (peubah).

Contoh :

Dari contoh diatas, maka himpunan di atas dapat dituliskan dengan cara notasi pembentuk himpunan sebagai berikut:

          A={x|x huruf vokal}

          B={x|0<x<10, x bilangan ganjil}

       4.      Diagram Venn

Untuk menggambarkan hubungan antara himpunan dapat digunakan diagram Venn. Himpunan dinyatakan dengan daerah kurva tertutup sedangkan semesta sebagaii daerah empat persegi panjang dan anggota himpunan dinyatakan dengan noktah-noktah di dalamnya. Diagram Ven dipopulerkan oleh John Venn 


Contoh :

Dari Contoh diatas, maka himpunan diatas dapat dinyatakan dengan diagram Venn sebagai berikut

A={a,i,u,e,o}                                                         B={1,3,5,7,9}

.                     

Penarikan Kesimpulan

Proses penerikan kesimpulan dari beberapa proposisi disebut inferensi. Dalam logika matematika, penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan premis-premis penyusunnya sampai dengan diperoleh suatu kesimpulan (konklusi). Penarikan suatu kesimpulan dikatakan sah apabila implikasi dari premis-premis dan konklusinya merupakan tautologi. Keabsahan penarikan kesimpulan dapat diperiksa dengan menggunakan tabel kebenaran .

Berikut ini beberapa metode penarikan kesimpulan antara lain modus ponens, modus tollens, dan silogisme.   

1.  Modus Ponens 
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p => q) ^ p] => q , yang dalam hal ini, p dan p -> q adalah Hipotesis, sedangkan q adalah konklusi.

Kaidah modus ponen dapat ditulis dengan cara : 

Premis 1      : P => q 

Premis 2      : P               

Kesimpulan : q          

Modus ponen menyatakan bahwa hipotesis p dan implikasi p -> q benar, maka konklusi q benar.

Contoh :

Premis 1   : Jika Dina rajin belajar maka dina lulus SMA

Premis 2   : Dina rajin belajar                                       

Kesimpulan : Dina lulus SMA

2.  Modus Tollens

Modus tollens dapat dituliskan sebagai berikut 

Premis 1       : P =>

Premis 2       : ~Q            

Kesimpulan : ~P      

Modus tollens adalah inferensia sah karena dapat dinyatakan bentuk implikasi, yaitu [(p => q) ^ ~q] => ~p adalah suatu tautologi. Yang dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut. 

Contoh :

Premis 1   : Jika Dina rajin belajar maka dina lulus SMA 

Premis 2   : Dina tidak lulus SMA                                                

Kesimpulan : Dina tidak rajin belajar 

3.              Sillogisme

Jika dua implikasi p->q dan q-> r adalah benar, maka p-> r juga benar. 

Premis 1      : P => q 

Premis 2      : q => r             

Kesimpulan : p => r     

Silogisme diatas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut : [(p => q) ^ (p=> r)] => (p => r) 

Dalil diatas adalah suatu tautologi pada tabel berikut :

 

Contoh :

Premis 1   : jika hari ini cerah,maka suhu terasa panas 

Premis 2   : jika suhu terasa panas,maka minuman dingin laku keras  

Kesimpulan : jika hari ini cerah,maka minuman dingin laku keras